Sarp Akkaya, 13 Mayıs 1980 tarihinde İstanbul’da doğmuştur. Oyunculuk kariyerine ilk adımını, 2001 yılında yayımlanan Bizim Aile dizisiyle atmıştır. Aynı yıl, Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı'ndan mezun olmuştur. Eğitim hayatını tamamladıktan sonra, sahneye olan ilgisini pekiştirmiş ve Stüdyo Drama Tiyatro Topluluğu'nda Kaos ve Sonra adlı oyunlarda, ardından Alchera Tiyatro Topluluğu’nda 6. Gün ve Devenin Hörgücü Yamuk Olur adlı eserlerde sahne almıştır.
Akkaya, televizyon dünyasında geniş bir tanınma kazandığı Kurtlar Vadisi Pusu dizisinde canlandırdığı Servet karakteriyle büyük bir çıkış yapmıştır. Bu başarı, onu, 2009 yılında Ezel dizisinde Tevfik karakterini canlandırmaya yönlendirmiş ve buradaki performansı onu daha da popülerleştirmiştir. Ardından, Suskunlar adlı dizide Murat Yıldırım ile başrolü paylaşarak Sarı karakterine hayat vermiştir. Muhteşem Yüzyılda ise Atmaca karakteriyle tarihî dizilerdeki yeteneğini göstermiştir.
2015’te, Racon: Ailem İçin adlı dizide Mehmet Aslantuğ ile başrolü paylaşmış ve bu proje de onun kariyerinde önemli bir yer edinmiştir.
Sarp Akkaya, ünlü oyuncu Esra Akkaya’nın kardeşi olup, aynı zamanda ikiz kardeşi Kaya Akkaya da bir oyuncudur. Ailesiyle birlikte 2010 yılında AKKAdemi Tiyatro'yu kurmuş ve tiyatro alanındaki tutkusunu sahneye taşımaya devam etmiştir. Ayrıca seslendirme çalışmaları da yaparak farklı alanlarda yeteneklerini sergilemiştir.
Sarp Akkaya, 2017 yılında oyuncu Sinem Yalçınyaka ile evlenmiştir. Hem sahne, hem de ekran projelerindeki başarılı performanslarıyla adından sıkça söz ettiren Akkaya, Türk televizyonunun önemli oyuncularından biri olarak kariyerine devam etmektedir.
