Mustafa Avkıran, 1963 yılında Gaziantep’te dünyaya gelmiştir. İstanbul Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı'ndan 1983 yılında mezun olduktan sonra, profesyonel tiyatro hayatına İstanbul Devlet Tiyatrosu'nda başlamıştır. Aynı zamanda, Mimar Sinan Üniversitesi'nde yüksek lisans eğitimini tamamlamıştır.
1987 yılında yönetmenlik kariyerine adım atan Avkıran, ilk olarak "Küçük Prens" oyununu sahnelemiştir. Bu tarihten sonra, İstanbul, Van, Ankara, Antalya, Bursa ve Trabzon Devlet Tiyatroları'nda, İstanbul Büyükşehir Belediyesi Şehir Tiyatroları’nda ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu’nda yönetmenlik yaparak, Türk tiyatrosunun önemli isimlerinden biri haline gelmiştir. 1993-1995 yılları arasında Antalya Devlet Tiyatrosu’nda müdürlük görevini üstlenmiş, ancak ardından politik nedenlerle bu görevden ayrılmıştır.
Yönetmenlik kariyerinde önemli bir dönüm noktası, 1994 yılında Murathan Mungan’ın Mahmud ile Yezida, Taziye, Geyikler Lanetler oyununu uyarlayarak gerçekleştirdiği başarılı yönetmenlik ile İsmet Küntay En İyi Yönetmen Ödülü’nü kazanması olmuştur. Aynı yıl, sinema dünyasına da adım atarak Sokaktaki Adam adlı filmdeki performansıyla, Antalya Altın Portakal Film Festivali'nde En İyi Yardımcı Erkek Oyuncu ödülünü kazanmıştır. Bu film, Mustafa Avkıran'ın sinemada da kendini kanıtlamasını sağlamıştır. Ardından Cumhuriyet, Kayıkçı, Mutluluk ve Av Mevsimi gibi önemli yapımlar da onun sinemadaki başarılarını sürdürmüştür.
1995 yılında, eşi Övül Avkıran ve Naz Erayda ile birlikte Antalya 5. Sokak Tiyatrosu’nu kurmuş, ardından 2000 yılında Tiyatro Oyun Evi ile birlikte İSM 2. Kat tiyatro sahnesini hayata geçirmiştir. Tiyatro dünyasındaki etkinliğini Garajistanbul'un kurucularından biri olarak devam ettiren Avkıran, burada sanat yönetmenliği görevini üstlenmiştir.
2011 yılında, Kanal D ekranlarında yayımlanan Kuzey Güney dizisinde Kıvanç Tatlıtuğ ve Buğra Gülsoy ile birlikte "Sami Bey" karakterini canlandırmıştır. 2012'de, İstanbul Devlet Tiyatroları’nda "Ay Ecesi" adlı modern bir Ferhat ile Şirin hikâyesi olan oyunu yönetmiş, 2013 yılında ise Ser Hoş Komünite İftiharla Sunar: Sabahlar Olmasın projesi ile unutulmaya yüz tutan gazino kültürünü sahnelemiştir. Bu projede, gençliğinden beri tutkusu olan müzikle de yeniden buluşmuştur.
Mustafa Avkıran, 1993 yılından bu yana tiyatrocu eşi Övül Avkıran ile evlidir ve 11 Nisan 2015 tarihinde Alaz adında bir oğlu dünyaya gelmiştir. Hem tiyatroda hem de sinemada uzun yıllar süren başarılı kariyeriyle Türk sanat dünyasında kendine sağlam bir yer edinmiştir.
