Fırat Çelik, 25 Mart 1981 tarihinde Almanya'nın Stuttgart yakınlarındaki Ostfildern kasabasında dünyaya geldi. Aslen Tuncelili olan Çelik, ailesinin kararıyla iki yaşındayken Türkiye'ye dönüp, dokuz yaşına kadar Tunceli'de yaşadı. İki ablası ve bir kız kardeşiyle birlikte büyüyen Çelik, ailenin tek erkek çocuğuydu. Tunceli'de altı yıl geçirdikten sonra ailesiyle birlikte Fransa'nın Paris banliyösü Champigny-sur-Marne'a taşındılar. Eğitimine burada başlayan Fırat, Louise Michel Ortaokulu'nu bitirdikten sonra Langevin Wallon Lisesi'nde ekonomi ve idari bilimler alanında eğitim aldı.
Genç yaşlarda babasına maddi açıdan yardımcı olmak amacıyla çalışma kararı veren Çelik, Paris'e taşındı ve burada pek çok farklı işin yanı sıra mankenlik de yapmaya başladı. Bu süreçte hayatına yön verecek olan tiyatro kariyerine de adım attı. 2006 yılında yönetmen Thierry Harcourt ile tanışan Fırat, Harcourt'un sahneye koyduğu Otomatik Portakal oyununda Fred karakterine hayat vermeye başladı. Ardından 2007 yılında Comédie de Paris tiyatrosuna katılarak, Jean-Georges Tharaud'un sahneye koyduğu Effets Secondaires oyununda Kevin rolünü üstlendi. Aynı dönemde pek çok kısa filmde de rol aldı ve Johann Bertelli'nin yazıp yönettiği Lignes adlı kısa filmde başrol oynayarak dikkatleri üzerine çekti.
Fırat Çelik'in sinema kariyeri 2009 yılında, yönetmen Philippe Lioret'nin Welcome adlı filminde küçük bir rol üstlenmesiyle başladı. Başrolde ünlü Fransız oyuncu Vincent Lindon'un yer aldığı film, Berlin Film Festivali'nde dünya prömiyerini yaparken, aynı yıl İstanbul Film Festivali'nin açılış filmi olarak seçildi. Bu filmle birlikte Çelik, ilk kez İstanbul'a gelme fırsatı buldu ve Türk televizyonlarıyla tanıştı. Hemen ardından Kış Masalı adlı dizide başrol oynayarak Türkiye'de tanınmaya başladı.
Fakat, Fırat Çelik'in geniş kitleler tarafından tanınması, Ay Yapım’ın yapımcılığını üstlendiği Fatmagül'ün Suçu Ne? adlı dizi ile gerçekleşti. Dizi, büyük bir izleyici kitlesine ulaşırken, Çelik'in performansı da çok beğenildi. Sonraki yıllarda, Ay Yapım imzalı 20 Dakika adlı polisiye dizisinde de rol aldı.
Fırat Çelik, oyunculuk kariyerinde özellikle derinlikli karakterleri canlandırma yeteneği ve etkileyici performanslarıyla tanınırken, aynı zamanda tiyatro ve sinema alanlarında da kendini kanıtlamış bir isimdir.
