1965 yılında Bingöl’ün Solhan ilçesinde dünyaya gelen Coşkun’un babası Mustafa, annesi ise Fikriye’dir. Hukuk eğitimini 1987 yılında Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nde tamamladı. Ardından aynı üniversitenin Sosyal Bilimler Enstitüsü’nde özel hukuk alanında yüksek lisans yaptı.
1989 yılında kaymakamlık sınavını kazanarak meslek hayatına adım atan Coşkun, bir süre Erzurum’da kaymakam adayı olarak görev yaptı. Ancak daha sonra bu görevinden ayrılarak Bingöl’de serbest avukatlık yapmaya başladı.
Sivil toplum alanında da aktif rol üstlenen Coşkun; Türk Hukuk Enstitüsü’nün Bingöl temsilciliğini yürüttü, Kimsesiz Çocukları Koruma Derneği’nde başkanlık yaptı ve çeşitli kamu yararına çalışan kuruluşlarda görev aldı. Siyasi kariyerinde ise 23. Dönem’de Türkiye Büyük Millet Meclisi Başkanlık Divanı’nda kâtip üye olarak yer aldı.
İngilizce bilen Coşkun, evli ve üç çocuk babasıdır.